En général, la convergence ponctuelle n'implique pas la convergence en mesure. Cependant, pour un espace de mesure fini, cela est vrai, et en fait nous verrons dans cette section que beaucoup plus est vrai.
La convergence implique-t-elle presque partout convergence dans la mesure ?
L'espace de mesure en question est toujours fini car les mesures de probabilité attribuent la probabilité 1 à l'espace entier. Dans un espace de mesure fini, presque partout convergence implique convergence de mesure. Donc presque convergence implique convergence en probabilité.
La convergence ponctuelle implique-t-elle la continuité ?
Bien que chaque fn soit continue sur [0, 1], leur limite ponctuelle f ne l'est pas (elle est discontinue en 1). Ainsi, la convergence ponctuelle ne préserve pas, en général, la continuité.
La convergence en L1 implique-t-elle une convergence ponctuelle ?
Ainsi la convergence ponctuelle, la convergence uniforme et la convergence L1 ne s'impliquent pas. Nous avons cependant quelques résultats positifs: Théorème 7 Si fn → f dans L1, alors il existe une sous-suite fnk telle que fnk → f pointwise a.e.
Qu'est-ce que la convergence en théorie des mesures ?
En mathématiques, plus précisément en théorie des mesures, il existe différentes notions de convergence des mesures. Pour un sens général intuitif de ce que l'on entend par convergence de mesure, considérons une séquence de mesures μ sur un espace, partageant une collection communed'ensembles mesurables.
