En mathématiques, la preuve par contrapositive, ou preuve par contraposition, est une règle d'inférence utilisée dans les preuves, où l'on déduit une déclaration conditionnelle à partir de sa contraposée. En d'autres termes, la conclusion "si A, alors B" est déduite en construisant une preuve de l'affirmation "si pas B, alors pas A" à la place.
Comment prouver par contradiction ?
Les étapes suivies pour une preuve par contradiction (aussi appelée preuve indirecte) sont:
- Supposez le contraire de votre conclusion. …
- Utilisez l'hypothèse pour dériver de nouvelles conséquences jusqu'à ce que l'une soit l'opposé de votre prémisse. …
- Conclure que l'hypothèse doit être fausse et que son contraire (votre conclusion originale) doit être vrai.
Comment prouver la loi de Contraposition ?
"S'il pleut, alors je porte mon manteau" - "Si je ne porte pas mon manteau, alors il ne pleut pas." La loi de contraposition dit qu'une instruction conditionnelle est vraie si, et seulement si, sa contraposée est vraie.). C'est ce qu'on appelle souvent la loi de la contraposition ou la règle d'inférence du modus tollens.
Comment prouver l'épuisement ?
Pour le cas de la preuve par épuisement, nous montrons qu'un énoncé est vrai pour chaque nombre considéré. La preuve par épuisement comprend également la preuve où les nombres sont divisés en un ensemble de catégories exhaustives et l'énoncé s'avère vrai pour chaque catégorie.
Quand utiliser une preuve par contradiction ?
Les preuves de contradiction sont souvent utilisées lorsqu'il y a un choix binaire entre les possibilités:
- 2 \sqrt{2} 2 est soit rationnel, soit irrationnel.
- Il y a une infinité de nombres premiers ou il y a un nombre fini de nombres premiers.
