Le premier théorème que Pugh prouve une fois qu'il a défini l'intégrale de Riemann est que l'intégrabilité implique la délimitation. C'est le théorème 15 à la page 155 de mon édition. Cela montre qu'il faut d'abord s'entendre sur les définitions.
Est-ce que Riemann intégrable implique borné ?
Théorème 4. Toute fonction intégrable de Riemann est bornée.
Les fonctions non bornées sont-elles intégrables ?
Une fonction illimitée n'est pas Riemann intégrable. Dans ce qui suit, « intégrable » signifiera « intégrable de Riemann », et « intégrale » signifiera « intégrale de Riemann », sauf indication contraire explicite. f(x)={ 1/x si 0 < x ≤ 1, 0 si x=0. donc les sommes de Riemann supérieures de f ne sont pas bien définies.
Une fonction intégrable de Lebesgue est-elle bornée ?
Les fonctions mesurables bornées sont équivalentes aux fonctions intégrables de Lebesgue. Si f est une fonction bornée définie sur un ensemble mesurable E de mesure finie. Alors f est mesurable si et seulement si f est intégrable de Lebesgue. … Par contre, les fonctions mesurables sont "presque" continues.
Comment savoir si une fonction est intégrable par Lebesgue ?
Si f, g sont des fonctions telles que f=g presque partout, alors f est intégrable de Lebesgue si et seulement si g est intégrable de Lebesgue, et les intégrales de f et g sont les mêmes s'ils existent.
