En mathématiques, un groupe abélien, également appelé groupe commutatif, est un groupe dans lequel le résultat de l'application de l'opération de groupe à deux éléments du groupe ne dépend pas de l'ordre dans lequel ils sont écrits.
Qu'est-ce qu'un groupe abélien et non abélien ?
Définition 0.3: Groupe abélien Si un groupe a la propriété ab=ba pour tout couple d'éléments a et b, on dit que le groupe est abélien. Un groupe est non-abélien s'il existe une paire d'éléments a et b pour lesquels ab=ba.
Comment identifie-t-on un groupe abélien ?
Manières de montrer qu'un groupe est abélien
- Montrer le commutateur [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 de deux éléments arbitraires x, y∈G x, y ∈ G doit être l'identité.
- Montrer que le groupe est isomorphe à un produit direct de deux (sous)groupes abéliens.
Quelle est la différence entre groupe et groupe abélien ?
Un groupe est une catégorie avec un seul objet et tous les morphismes inversibles; un groupe abélien est une catégorie monoïdale avec un seul objet et tous les morphismes inversibles.
Quel groupe est toujours abélien ?
Oui, tous les groupes cycliques sont abéliens. Voici un peu plus de détails qui aident à expliquer "pourquoi" tous les groupes cycliques sont abéliens (c'est-à-dire commutatifs). Soient G un groupe cyclique et g un générateur de G.
