Chaque sous-groupe d'un groupe abélien est normal, donc chaque sous-groupe donne lieu à un groupe quotient. Les sous-groupes, les quotients et les sommes directes de groupes abéliens sont à nouveau abéliens. Les groupes abéliens simples finis sont exactement les groupes cycliques d'ordre premier.
Pourquoi chaque sous-groupe d'un groupe abélien est normal ?
(1) Tout sous-groupe d'un groupe abélien est normal puisque ah=ha pour tout a ∈ G et pour tout h ∈ H. (2) Le centre Z(G) d'un groupe est toujours normal puisque ah=ha pour tout a ∈ G et pour tout h ∈ Z(G).
Tout sous-groupe d'un groupe abélien est-il cyclique ?
Tous les groupes cycliques sont abéliens, mais un groupe abélien n'est pas nécessairement cyclique. … Tous les sous-groupes d'un groupe abélien sont normaux. Dans un groupe abélien, chaque élément est dans une classe de conjugaison par lui-même, et la table de caractères implique des puissances d'un seul élément connu sous le nom de générateur de groupe.
Le sous-groupe normal est-il un groupe abélien ?
Prouvez que tout sous-groupe d'un groupe abélien est un sous-groupe normal. Réponse: Rappel: Un sous-groupe H d'un groupe G est dit normal si gH=Hg pour tout g ∈ G. … gh=hg pour tout h puisque G est abélien. Donc {gh | h ∈ H}={hg | h ∈ H}=Hg par définition du coset droit Hg.
Chaque sous-groupe est-il normal ?
Chaque groupe est un sous-groupe normal de lui-même. De même, le groupe trivial est un sous-groupe de chaque groupe.). Parmi ceux-ci, le second est normal mais le premier ne l'est pas.
