Une preuve par induction se compose de deux cas. Le premier, le cas de base (ou base), prouve l'énoncé pour n=0 sans supposer aucune connaissance des autres cas. Le deuxième cas, l'étape d'induction, prouve que si l'énoncé est vrai pour n'importe quel cas donné n=k, alors il doit également être vrai pour le cas suivant n=k + 1.
Qu'est-ce que la preuve par induction et la preuve par contradiction ?
Dans la démonstration, vous êtes autorisé à supposer X, puis à montrer que Y est vrai, en utilisant X. • Un cas particulier: s'il n'y a pas de X, vous suffit de prouver Y ou vrai ⇒ Y. Alternativement, vous pouvez faire une preuve par contradiction: Supposez que Y est faux, et montrez que X est faux. • Cela revient à prouver.
La preuve par induction est-elle valide ?
est vrai pour tous les entiers naturels k. Bien que ce soit l'idée, la preuve formelle que l'induction mathématique est une technique de preuve valide tend à s'appuyer sur le principe de bon ordre des nombres naturels; à savoir, que chaque ensemble non vide d'entiers positifs contient un plus petit élément. Voir, par exemple, ici.
Pourquoi l'induction est-elle une preuve valide ?
L'induction mathématique est une technique de preuve valable car nous utilisons des nombres naturels et nous le faisons depuis longtemps. L'induction mathématique est une méthode de raisonnement et de démonstration de propriétés sur les nombres naturels.
Pourquoi l'induction est-elle une technique de preuve valide ?
L'induction dit simplement que P(n) doit être vrai pour tous les nombres naturelsparce que nous pouvons créer une preuve comme celle ci-dessus pour chaque naturel. Sans induction, nous pouvons, pour tout n naturel, créer une preuve pour P(n) - l'induction formalise simplement cela et dit que nous sommes autorisés à sauter de là à ∀n[P(n)].
