Complétude de l'espace métrique n'est pas préservée par l'homéomorphisme.
Que préserve l'homéomorphisme ?
Un homéomorphisme, également appelé transformation continue, est une relation d'équivalence et une correspondance bijective entre les points de deux figures géométriques ou espaces topologiques continue dans les deux sens. Un homéomorphisme qui préserve également les distances est appelé une isométrie.
Est-ce qu'un homéomorphisme préserve la compacité ?
3.3 Propriétés des espaces compacts
Nous avons noté précédemment que la compacité est une propriété topologique d'un espace, c'est-à-dire qu'elle est préservée par un homéomorphisme. De plus, il est préservé par toute fonction continue onto.
La complétude est-elle une propriété topologique ?
La complétude n'est pas une propriété topologique, c'est-à-dire qu'on ne peut pas déduire si un espace métrique est complet simplement en regardant l'espace topologique sous-jacent.
Pourquoi la délimitation n'est-elle pas une propriété topologique ?
Pour les espaces métriques, nous avons une notion de délimitation: c'est-à-dire qu'un espace métrique est borné s'il existe un nombre réel M tel que d(x, y) ≤ M pour tout x, y. La délimitation n'est pas une propriété topologique. Par exemple, (0, 1) et (1, ∞) sont homéomorphes mais l'un est borné et l'autre non. ∞ n=1 est une suite de points dans X.
