Remarque: il est vrai que chaque suite bornée contient une sous-suite convergente, et de plus, toute suite monotone converge si et seulement si elle est bornée. Ajouté Voir l'entrée sur le théorème de convergence monotone pour plus d'informations sur la convergence garantie des séquences monotones bornées.
Est-ce que toute suite bornée converge dans R ?
Le théorème énonce que chaque suite bornée dans R a une sous-séquence convergente. Une formulation équivalente est qu'un sous-ensemble de R est séquentiellement compact si et seulement s'il est fermé et borné. Le théorème est parfois appelé théorème de compacité séquentielle.
Toute suite bornée de nombres réels est-elle convergente ?
Réponse et explication: (a) Toute suite bornée est-elle convergente ? Non.
Toutes les séquences monotones bornées convergent-elles ?
Pas toutes les séquences bornées, comme (−1)n, converge, mais si nous savions que la séquence bornée était monotone, alors cela changerait. si an ≥ an+1 pour tout n ∈ N. Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante. et bornée, alors elle converge.
Est-ce que toutes les suites bornées ont une sous-suite convergente ?
Théorème de Bolzano-Weierstrass: Toute suite bornée dans Rn a une sous-suite convergente. de {xmk } est une suite bornée de nombres réels, elle a donc aussi une sous-suite convergente, … Inversement, toute suite bornée est dans uneensemble fermé et borné, il a donc une sous-séquence convergente.
