Solution. La réponse est non. Puisque dim P3(R)=4, aucun ensemble de trois polynômes ne peut générer tout P3(R).
Les polynômes couvrent-ils P3 ?
Oui ! L'ensemble couvre l'espace si et seulement s'il est possible de résoudre pour,,, et en termes de nombres quelconques, a, b, c et d. Bien sûr, la résolution de ce système d'équations pourrait se faire en termes de matrice de coefficients, ce qui revient directement à votre méthode !
Qu'est-ce que le polynôme P3 ?
Un polynôme de P3 a la forme ax2 + bx + c pour certaines constantes a, b et c. Un tel polynôme appartient au sous-espace S si a02 + b0 + c=a12 + b1 + c, ou c=a + b + c, ou0=a + b, ou b=−a. Ainsi les polynômes du sous-espace S ont la forme a(x2 −x)+c.
Est-ce que 3 vecteurs peuvent couvrir P3 ?
(d) (1, 0, 2), (0, 1, 0), (−1, 3, 0) et (1, −4, 1). Oui. Trois de ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils s'étendent donc sur R3. … Ces vecteurs sont linéairement indépendants et s'étendent sur P3.
Quelle est la base standard de P3 R ?
2. (20) S 1, t, t2 est la base standard de P3, l'espace vectoriel des polynômes de degré 2 ou moins.
