Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. … Si G est simple, alors il a 10 sous-groupes d'ordre 3 et 6 sous-groupes d'ordre 5. Cependant, puisque ces groupes sont tous cycliques d'ordre premier, tout élément non trivial de G est contenu dans au plus un de ces groupes.
Les groupes P sont-ils cycliques ?
Le groupe trivial est le seul groupe d'ordre un, et le groupe cyclique C p est le seul groupe d'ordre p.
Les sous-groupes sont-ils cycliques ?
Théorème: Tous les sous-groupes de un groupe cyclique sont cycliques. Si G=⟨a⟩ est cyclique, alors pour tout diviseur d de |G| il existe exactement un sous-groupe d'ordre d qui peut être engendré par a|G|/d a | G | / ré. Preuve: Soit |G|=dn | G |=ré n.
Les sous-groupes P Sylow sont-ils normaux ?
Si G a précisément un p-sous-groupe de Sylow, il doit être normal depuis Unique Subgroup of a Given Order is Normal. Supposons qu'un sous-groupe p de Sylow P est normal. Alors il est égal à ses conjugués. Ainsi, d'après le troisième théorème de Sylow, il ne peut y avoir qu'un seul sous-groupe p de Sylow.
Les sous-groupes sylow P sont-ils abéliens ?
On prouve que les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini G sont abéliens si et seulement si les tailles de classe des p-éléments de G sont toutes premières avec p, et, si p ∈ { 3, 5 }, le degré de tout caractère irréductible dans le p-bloc principal de G est premier avec p.
