En mathématiques, un sous-ensemble d'un espace topologique est appelé nulle part dense ou rare si sa fermeture a un intérieur vide. Dans un sens très large, c'est un ensemble dont les éléments ne sont étroitement regroupés nulle part. Par exemple, les entiers ne sont nulle part denses parmi les réels, alors qu'une balle ouverte ne l'est pas.
Est-ce que 1 N n'est nulle part dense ?
Un exemple d'un ensemble qui n'est pas fermé mais qui n'est encore nulle part dense est {1n|
∈N}. Il a un point limite qui n'est pas dans l'ensemble (à savoir 0), mais sa fermeture n'est toujours nulle part dense car aucun intervalle ouvert ne rentre dans {1n|n∈N}∪{0}.
Comment prouver qu'un ensemble n'est nulle part dense ?
Un sous-ensemble A ⊆ X est appelé nulle part dense dans X si l'intérieur de la clôture de A est vide, c'est-à-dire (A)◦=∅. Autrement dit, A n'est nulle part dense ssi il est contenu dans un ensemble fermé à intérieur vide. Passant aux compléments, on peut dire de manière équivalente que A n'est dense nulle part si et seulement si son complémentaire contient un ouvert dense (pourquoi ?).
Que signifie partout dense ?
Un sous-ensemble A d'un espace topologique X est dense pour lequel la clôture est l'espace entier X (certains auteurs utilisent la terminologie partout dense). Une définition alternative courante est: un ensemble A qui intersecte chaque sous-ensemble ouvert non vide de X.
Chaque ensemble dense est-il ouvert ?
Un espace topologique X est hyperconnecté si et seulement si tout ensemble open non vide est dense dans X. Un espace topologique est sous-maximal si et seulement sichaque sous-ensemble dense est ouvert.
